数据结构与算法基础——第01周-算法与算法解析3(1.6)

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一 时间复杂度

若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作

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T(n)=O(f(n))

称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度(O是数量级的符号)，简称时间复杂度

一般情况下，不比计算所有操作的执行次数，而只考虑算法中基本操作执行的次数，它是问题规模n的某个函数，用T(n)表示。

二 定理

若f(n)=amnm+am-1nm-1+...+a1n1+a0是m次多项式，则T(n)=O(nm)

忽略所有低次幂项和最高次幂系数，体现出增长率的含义

三 分析算法时间复杂度的基本方法

  1. 找出语句频度最大的那条语句作为基本语句
  2. 计算基本语句的频度得到问题规模n的某个函数f(n)
  3. 取其数量级用符号"O"表示

四 示例

4.1 实例一

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x=0;y=0;

for(int k=0;k<n;k++)
   x++;
   
for(int i=0;i<n;i++)
	for(int j=0;i<n;j++)
		y++;

说明：

  • 第一段函数的数量级为1
  • 第2段函数的数量级为n
  • 第3端函数的数量级为n2

4.2 示例2

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void exam(float x[][],int m,int n)
{
	float sum[];
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		sum[i]=0.0;
		for(int j=0;j<n;j++)
			sum[i]+=x[i][j];
	}
	for(int i=0;i<m;i++)
		count<<i<<":"<<sum[i]<<endl;
}

时间复杂度为：f(n)=m*n

时间复杂度是由嵌套最深层语句的频度决定的

4.3 示例3 NxN矩阵相乘

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for(i=1;i<=n;i++)
  for(j=1;j<=n;j++)
    c[i][j]=0;
    for(k=1;k<=n;k++)
      c[i][j]=c[i][j]+a[i][j]*b[k][j];

时间复杂度为：T(n)=O(n3)

算法中的基本操作语句为：c[i][j]=c[i][j]+a[i][j]*b[k][j]

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	 n n n     n n     n
T(n)=∑ ∑ ∑ 1 = ∑ ∑ n = ∑n^2 = n^3 = O(n^3)
	 1 1 1     1 1     1

4.4 示例4

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for(i=1;i<=n;i++)
	for(j=1;j<=i;j++)
		for(k=1;k<=j;k++)
			x=x+1;

时间复杂度为：T(n)=O(n3)

语句频度

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 n   i   j      n  i      n
 ∑   ∑   ∑  1 = ∑  ∑  j = ∑ i(i+1)/2 = n(n+1)(n+2)/6
i=1 j=1 k=1    i=1 j=1   i=1

4.5 示例5

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i=1;         ① 
while(i<=n)
  i=i*2;     ②

分析：关键是要找出执行次数x与n的关系，并表示成n的函数

  • 若循环执行1次：i=1*2=2
  • 若循环执行2次：i=2*2=22
  • 若循环执行3次：i=2*2*2=23
  • 若循环执行x次：i=2x

设语句②执行次数为x次，由循环条件i<=n，2x<=n，x<log2n

2f(n)<=n，即f(n)<=log2n，取最大值f(n)=log2n