CPP学习之——兔子繁殖问题(14.9)

一 概述

看过电影《达芬奇密码》的朋友可能会听到斐波那契数列，斐波那契数列是由意大利数学家列昂纳多.斐波那契发明的。在他的代表作《算盘书》中，斐波那契提出了这样的问题：

有小兔一对，若在它们出生后第一个月成年，第二个月就有生殖能力，而有生殖能力的一对兔子每一个月都生一对兔子。设所生的一对兔子均为一雌一雄，且均无死亡。问新生的一对兔子一年后可以繁殖成多少对兔子？

二 分析

• 期初，有一对兔子；第一个月，仍有一对兔子；第二个月，这对兔子生育了一对兔子，那么就有两对兔子；第三个月，由于有生育能力的一对兔子每个月都生一对兔子，那么有三对兔子；第四个月，第二个月时生产的那对兔子长大并且有了生育能力，因此一对小兔生育一对兔子再加上大兔子生育一对兔子，总共是有五对兔子；第五个月，大兔子在第三个月生育的那对兔子也有了生育能力，因此三对兔子又生育了三对兔子，再加上第四个月时兔子的总数五只，总共是有八对兔子。。。把这些对数顺序排列起来，可得到下面的数列： 1，1，2，3，5，8，13...

• 观察这一数列，可以看出：从第二个月起，每月兔子的对数都等于前两个月对数的和。根据这个规律，推算出一年后养兔子的总对数。

  经过月数：0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12

  兔子对数：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233

• 所以这个养图人公有233对兔子

三 程序设计

• 假如我们用数组来表示的话，一年后兔子的对数为a[13]，因为第一个元素要保存兔子的初始值，而后12个元素要保存12个月的兔子对数，因此我们设置数组a为13个元素，我们知道兔子的初始对数是一对，而第一个月兔子又没生育，那么a[0]和a[1]的值均为1(对)
• 由于从第二个月起，每个月兔子的对数都等于前两个月对数的和。因此：a[n]=a[n-1]+a[n-2];其中n为月份，n-1表示第n月时的前一个月，n-2表示第n月时的前两月，那么a[n-1]就表示第n月时前一个月的兔子对数，而a[n-2]就表示第n月时前两个月的兔子对数。把这两个月的兔子对数相加就是第n月的兔子对数。
• 例如：在第三个月时，n的值为3，那么该式子为：a[3]=a[3-1]+a[3-2]，a[3-1]也就是a[2]，a[3-1]也就是a[1]，我们知道第二个月的兔子对数是2，第一个月的兔子对数是1，因此a[2]的值是2，a[1]的值是1，把这两个数组元素相加，得出3，也就是第三个月的兔子对数a[3]的值
• 我们从上列中得知数组a的第一个元素和第二个元素为1，即a[0]=a[1]=1,因此我们在定义数组时要初始化开头两个元素：int a[13]={1，1}

四 示例演示及结果输出

4.1 代码

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int a[13]={1,1};
	int n;
	for(n=2;n<13;n++)
	{
		a[n]=a[n-1]+a[n-2];
		//cout<<a[n]<<endl;
	}
	cout<<a[12]<<endl;
	return 0;
}

4.2 输出结果

233